插值与拟合

插值

插值是一种预测方法，能够预测在一个未知函数的两点 $x$ 之间的函数值的估计值。也就是根据现有的点，估计其他点的函数值，因为函数未知，所以需要估计。

顾名思义，利用两点之间的直线求得两点间的函数关系，再代入所求点的x值即可求解。线性插值就是想求一个幂次数不超过1的多项式。公式如下：

L_1(x)=y_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}+y_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}

抛物线插值也可以理解为二次曲线插值函数公式，利用二次函数曲线进行预测三点之间的函数关系。求一个幂次数不超过2的多项式函数。公式如下：

L_2(x)=y_0\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+y_1\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+y_2\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}

使用Interp1(x,y,cx,'method')函数即可。method可选方法有:linear,spline,cubic,nearest.

宗旨：有数据就能拟合

拟合使用的主要方法是最小二乘法，最小二乘法是一种衡量预测值与真实值之间差距的一种方法，主要通过距离来进行衡量，这个叫最小二乘法准则。

最小二乘法是一种用于拟合的方法，具体做法为

类似于神经网络，通过预测一组权重数据，通过梯度下降和损失函数使得真实值与预测值之间的距离不断缩小

先根据具体的散点确定一个大致的函数关系（可以是线性、二次、三次等）函数关系如下： $f(x)=a_1r_1(x)+a2r_2(x)+...+a_nr_n(x)$
根据这个函数关系设待定系数
问题转化乘求解一组待定系数使得预测值与真实之间的距离最小，公式如下 $J(a_1,a_2,...,a_n)=\sum^n_{i=1}(f(x_i)-y_i)^2$ 其实就是回归问题，回归求解权重，最后拟合得到满足与原数据走势相同的曲线。特别的，当 $r_k$ 均取多项式的时候为多项式拟合方法。

使用polyfit(x,y,m)函数即可实现，其中 $x=(x_1,x_2,...,x_n),y=(y_1,y_2,...,y_n), m=1,2...n$ (拟合达到的最高幂次数)

使用lsqcurvefit('func', x0, xdata, ydata, options, 'grad')即可,该方法不需要在定义func函数m文件的时候进行真实值与预测值的相减，直接写函数即可。

使用lsqnonlin('func', x0)即可，该方法需要提前使用预测值和真实值进行相减作为函数，即函数m文件里需要写 $Y-f(X),X,Y均为向量$

求解问题时，两者均可以使用，只要有数据就可以使用该方法，但是注意polyfit是要在 $f(x)$ 为线性的情况下才能使用。但是有时候可以通过一些技巧把非线性转换为线性（取对数）.

插值求解出来的函数需要经过所有的已知点，拟合不许用经过所有的已知点，只要图像的趋势一致即可。